اصول احتمال

در ریاضیات می توانیم مبحثی را با چند قانون شروع کنیم سپس با استفاده از این قوانین اولیه، قوانین دیگری به وجود آوریم. معمولاً این قوانین اولیه از نظر ریاضی بدیهی (self evident) هستند.به این قوانین اولیه می‌گویند. نظریه احتمالات نیز چنین روندی را دنبال می کند و به قوانین اولیه آن (به انگلیسی: probability axioms) می گویند.
در اینجا به کولموگروف (Kolmogorov axioms) می‌پردازیم. این اصول عبارتند از:
    اگر F {displaystyle F} F فضای نمونه و E {displaystyle E} E پیشامدی از فضای نمونه باشد آنگاه
    P ( E ) ∈ R ,   P ( E ) ≥ 0 ∀ E ⊆ F {displaystyle P(E)in mathbb {R} , P(E)geq 0qquad forall Esubseteq F} {displaystyle P(E)in mathbb {R} , P(E)geq 0qquad forall Esubseteq F}
    اگر F {displaystyle F} F فضای نمونه باشد آنگاه
    P ( F ) = 1 {displaystyle P(F)=1} {displaystyle P(F)=1}
    اگر E1 و E2 و ... پیشامدهایی ناسازگار شمارش‌پذیر از فضای نمونه F {displaystyle F} F باشند آنگاه
    P ( E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {displaystyle P(E_{1}cup E_{2}cup cdots )=sum _{i=1}^{infty }P(E_{i}).} {displaystyle P(E_{1}cup E_{2}cup cdots )=sum _{i=1}^{infty }P(E_{i}).}
حال با استفاده از این سه اصل به استخراج نتایجی می پردازیم.
محتویات
    ۱ احتمال زیرمجموعه‌های یک پیشامد
    ۲ احتمال مجموعه تهی
    ۳ کران بالا و پایین احتمال پیشامدهای فضای نمونه
    ۴ احتمال متمم یک پیشامد
    ۵ احتمال اجتماع دو پیشامد
    ۶ منابع
احتمال زیرمجموعه‌های یک پیشامد
گزاره: اگر A ⊆ B {displaystyle quad Asubseteq Bquad } {displaystyle quad Asubseteq Bquad } آنگاه P ( A ) ≤ P ( B ) {displaystyle P(A)leq P(B)} {displaystyle P(A)leq P(B)}
اثبات: چون A ⊆ B {displaystyle quad Asubseteq Bquad } {displaystyle quad Asubseteq Bquad } است پس می توان B {displaystyle B} B را به صورت B = A ∪ ( A ′ ∩ B ) {displaystyle B=Acup (A'cap B)} {displaystyle B=Acup (A'cap B)} نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:
    P ( B ) = P ( A ) + P ( A ′ ∩ B ) {displaystyle P(B)=P(A)+P(A'cap B)} {displaystyle P(B)=P(A)+P(A'cap B)}
و بنا بر اصل 1 چون P ( A ′ ∩ B ) ≥ 0 {displaystyle P(A'cap B)geq 0} {displaystyle P(A'cap B)geq 0} نتیجه به دست می آید (منظور از A ′ {displaystyle A'} {displaystyle A'} متمم A {displaystyle A} Aاست).
احتمال مجموعه تهی
گزاره: اگر F {displaystyle F} F فضای نمونه و ∅ {displaystyle emptyset } {displaystyle emptyset } نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه
    P ( ∅ ) = 0 {displaystyle P(emptyset )=0} {displaystyle P(emptyset )=0}
اثبات: می دانیم F ∪ ∅ = F {displaystyle Fcup emptyset =F} {displaystyle Fcup emptyset =F} و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم
    P ( F ∪ ∅ ) = P ( F ) + P ( ∅ ) = 1 ⇒ P ( ∅ ) = 0 {displaystyle P(Fcup emptyset )=P(F)+P(emptyset )=1Rightarrow ;P(emptyset )=0} {displaystyle P(Fcup emptyset )=P(F)+P(emptyset )=1Rightarrow ;P(emptyset )=0}
کران بالا و پایین احتمال پیشامدهای فضای نمونه
گزاره: اگر A {displaystyle A} A پیشامدی از فضای نمونه F {displaystyle F} F باشد آنگاه داریم
    0 ≤ P ( A ) ≤ 1 {displaystyle 0leq P(A)leq 1} {displaystyle 0leq P(A)leq 1}
اثبات:
    ∅ ⊆ A ⊆ F ⇒ P ( ∅ ) ≤ P ( A ) ≤ P ( F ) ⇒ 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 {displaystyle emptyset subseteq Asubseteq FRightarrow ;P(emptyset )leq P(A)leq P(F)Rightarrow ;0leq P(A)leq 1} {displaystyle emptyset subseteq Asubseteq FRightarrow ;P(emptyset )leq P(A)leq P(F)Rightarrow ;0leq P(A)leq 1}
احتمال متمم یک پیشامد
گزاره:اگر A {displaystyle A} A پیشامدی از فضای نمونه F {displaystyle F} F و A ′ {displaystyle A'} {displaystyle A'} متمم پیشامد A {displaystyle A} A باشد آنگاه
    P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) {displaystyle P(A')=1-P(A)} {displaystyle P(A')=1-P(A)}
اثبات:
    A ∪ A ′ = F ⇒ P ( A ∪ A ′ ) = P ( F ) ⇒ P ( A ) + P ( A ′ ) = 1 ⇒ P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) {displaystyle Acup A'=FRightarrow ;P(Acup A')=P(F)Rightarrow ;P(A)+P(A')=1Rightarrow ;P(A')=1-P(A)} {displaystyle Acup A'=FRightarrow ;P(Acup A')=P(F)Rightarrow ;P(A)+P(A')=1Rightarrow ;P(A')=1-P(A)}
احتمال اجتماع دو پیشامد
گزاره: اگر A {displaystyle A} A و B {displaystyle B} B دو پیشامد از فضای نمونه F {displaystyle F} F باشد آنگاه
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)} {displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)}
اثبات:
    ( A ∪ B ) = A ∪ ( A ′ ∩ B ) ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( A ′ ∩ B ) {displaystyle (Acup B)=Acup (A'cap B)Rightarrow ;P(Acup B)=P(A)+P(A'cap B)} {displaystyle (Acup B)=Acup (A'cap B)Rightarrow ;P(Acup B)=P(A)+P(A'cap B)}
    B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ′ ∩ B ) ⇒ P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ′ ∩ B ) ⇒ P ( A ′ ∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) {displaystyle B=(Acap B)cup (A'cap B)Rightarrow ;P(B)=P(Acap B)+P(A'cap B)Rightarrow ;P(A'cap B)=P(B)-P(Acap B)} {displaystyle B=(Acap B)cup (A'cap B)Rightarrow ;P(B)=P(Acap B)+P(A'cap B)Rightarrow ;P(A'cap B)=P(B)-P(Acap B)}
با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)} {displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)}