تحلیل ارتعاشی یک ورق مرکب لایه‌لایه به کمک تئوری دومتغیره‌ی پالوده شده به روش المان‌های محدود سلسله مراتبی

تحلیل ارتعاشی یک ورق مرکب لایه‌لایه به کمک تئوری دومتغیره‌ی پالوده شده به روش  المان‌های محدود سلسله مراتبی

در این پایان‌نامه تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری دو‌متغیره پالوده شده برای مساله ارتعاش آزاد، با استفاده از روش‌های المان محدود استاندارد و المان محدود سلسله مراتبی بررسی‌ می‌گردد. تئوری دو‌متغیره پالوده شده یک تئوری تک‌لای معادل است، که در آن برای بیان میدان جابجایی از دو مولفه‌ی خمشی و برشی استفاده می‌گردد و مولفه‌ی خمشی در نیرو‌های برشی تاثیرگذار نیست‌، درحالی که مولفه‌ی برشی نیز تاثیری در گشتاور‌های خمشی ندارد. با حذف مولفه‌ی برشی، این تئوری به تئوری کلاسیک ورق شبیه خواهد شد. هم‌چنین این تئوری تغییرات کرنش برشی در راستای ضخامت ورق را سهموی در نظر‌گرفته و بنابراین نیاز به ضریب اصلاح برشی نمی‌باشد. روش المان محدود سلسله مراتبی یک روش پالایش شبکه‌بندی المان است، که در آن با افزایش مرتبه تابع‌های شکل به‌کار رفته برای تقریب جابجایی، در تعداد نقاط گرهی المان تغییری ایجاد نمی‌شود. در این پژوهش ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی و تابع‌های ‌شکل‌ المان یک بعدی قابل استفاده، توضیح داده می‌شود، سپس روش استفاده از این تابع‌ها برای المان دو‌بعدی بیان می‌گردد. در ادامه فرمول‌بندی روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای تئوری‌های کلاسیک ورق لایه‌لایه به‌دست می‌آید و فرکانس‌ها برای شرایط مرزی گوناگون و با تغییر تعداد لایه‌ها با حل دقیق مقایسه‌ می‌گردد. مشاهده می‌شود، که در روش المان محدود سلسله مراتبی با استفاده از درجه‌های آزادی کمتر، پاسخ‌های دقیق‌تری نسبت به روش المان محدود استاندارد به‌دست می‌آید. هم‌چنین فرمول‌بندی المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی برای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه‌اول به‌دست می‌آید و اثر قفل برشی، با تغییر نسبت طول به ضخامت ورق بررسی می‌گردد. با استفاده از روش المان محدود سلسله‌مراتبی ضمن جلوگیری از اثر قفل برشی، نتیجه‌های فرکانس آزاد ورق از دقت بهتری نسبت به روش المان محدود استاندارد برخوردار است. پس از آن تئوری دو‌متغیره پالوده شده ورق ارایه‌ گردیده و معادله‌های حرکت و فرمول‌بندی روش‌های‌ المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای آن به‌دست می‌آید. فرکانس‌های طبیعی در این تئوری برای ورق‌های عمودسانگرد لایه‌لایه متقارن و نامتقارن برای مودهای مبنا و بالاتر به روش حل دقیق، روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی به‌دست آمده است. با مقایسه نتیجه‌ها، برتری روش المان محدود سلسله مراتبی نسبت به روش المان محدود استاندارد مشاهده می‌گردد. سپس با تغییر پارامترهای مختلف ورق عمودسانگرد لایه‌لایه عمودچین و اریب‌چین مانند نسبت مدول‌های الاستیسیته، تغییر نسبت طول به ضخامت و تغییر نسبت طول به‌ عرض برای شرایط تکیه‌گاهی مختلف ورق، رفتار این تئوری به روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی بررسی و با نتیجه‌های حل دقیق این تئوری مقایسه می‌گردد.

 کلمه‌های کلیدی: تئوری کلاسیک ، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ، تئوری دو‌متغیره‌ پالوده شده، روش المان محدود استاندارد، روش المان محدود سلسله مراتبی

فهرست مطالب

چکیده. 1

فصل اول: مقدمه  7

1-1    تاریخچه‌ای به روش‌های حل مسایل ارتعاش آزاد ورق‌ها 8

1-2    روش‌ المان محدود سلسله مراتبی.. 21

1-2-1     مقدمه. 21

1-2-2     روش‌های المان محدود. 22

1-2-3     مروری بر کارهای انجام گرفته در زمینه روش المان محدود سلسله مراتبی.. 23

1-2-4     ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی.. 24

1-3    اهداف پژوهش.... 25

فصل سوم: تئوری‌های کلاسیک و تغییرشکل برشی مرتبه اول ورق   26

2-1    مقدمه. 26

2-2    تعریف ماده عمودسانگرد. 27

2-3    تئوری کلاسیک ورق لایه لایه. 27

2-3-1     میدان‌های جابجایی و کرنش.... 28

2-3-2     رابطه‌های ساختاری تنش- کرنش.... 29

2-3-3     فرمول‌بندی المان محدود. 30

2-3-4     ماتریس سختی.. 31

2-3-5     تابع‌های درونیاب لاگرانژی.. 32

2-3-6     تابع‌های شکل هرمیتی.. 33

2-3-7     ماتریس جرم. 36

2-3-8     روش المان محدود سلسله مراتبی برای ورق تئوری کلاسیک.... 38

2-3-9     تابع‌های شکل سلسله مراتبی درون-صفحه. 38

2-3-10   تابع‌‌های شکل برون-صفحه. 41

2-3-11   استخراج ماتریس سختی وجرم. 43

2-3-12   حل عددی ورق با تئوری کلاسیک ورق.. 43

2-4    تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول.. 51

2-4-1     میدان‌های جابجایی و کرنش.... 51

2-4-2     رابطه‌های ساختاری تنش- کرنش.... 53

2-4-3     فرمول‌بندی المان محدود. 53

2-4-4     ماتریس سختی.. 54

2-4-5     ماتریس جرم. 56

2-4-6     روش المان محدود سلسله مراتبی.. 57

فصل سوم: تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده  60

3-1    مقدمه. 60

3-2    فرضیات اساسی.. 61

3-3    رابطه‌های کرنش- جابجایی.. 62

3-4    معادله‌های ساختاری تنش-کرنش.... 63

3-5    معادله‌های حرکت... 65

3-6    فرمول‌بندی المان محدود. 68

3-6-1     ماتریس سختی.. 69

3-6-2     ماتریس جرم. 72

3-7    روش المان محدود سلسله مراتبی برای تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده. 73

3-7-1     تابع‌های شکل روش المان محدود سلسله مراتبی.. 74

3-7-1     نتیجه‌گیری.. 75

نتیجه‌گیری و پیشنهاد  87

4-1    نتیجه گیری.. 87

4-2    پیشنهاد‌ها 88

روش المان محدود سلسله مراتبی   89

پ-1-1   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی.............................................................................................................................89

پ-1-2   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی یک‌بعدی..............................................................................................................92

پ-1-3   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی المان میله..............................................................................................................96

پ-1-4   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی المان تیر................................................................................................................98

پ-1-5   تابع‌های مثلثاتی یک‌بعدی.............................................................................................................................101

پ-1-6   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی دوبعدی (المان مستطیلی).....................................................................................102

مراجع  104

فهرست جدول‌ها

جدول ‏3‑1- مقایسه ی تقریب همگرایی روش‌های المان محدود برای ورق مستطیلی همسانگرد تئوری کلاسیک ورق.. 44

جدول ‏3‑2- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSSSS.. 45

جدول ‏3‑3- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCCC.. 46

جدول ‏3‑4- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCSS.. 46

جدول ‏3‑5- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSFSF.. 47

جدول ‏3‑6- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFCF.. 47

جدول ‏3‑7- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیFFFF.. 48

جدول ‏3‑8- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFFF.. 48

جدول ‏3‑9 فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک.... 49

جدول ‏3‑10- فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد متقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک.... 50

جدول ‏3‑11- مقایسه ی همگرایی فرکانس‌های بی‌بعد ورق مستطیلی همسانگرد بر پایه تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول. 58

جدول ‏4‑1- مقایسه تعداد متغیر‌های مجهول در تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر. 61

جدول ‏4‑2- مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق مستطیلی عمودسانگرد تک‌لا بر پایه تئوری RPT.. 76

جدول ‏4‑3 مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد  نامتقارن بر پایه تئوری RPT.. 77

جدول ‏4‑4- فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با .............. 78

جدول ‏4‑5- فرکانس طبیعی ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با ..................... 79

جدول ‏4‑6- مقایسه‌ی‌ فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق نامتقارن ............... 80

جدول ‏4‑7- مقایسه‌ی‌ فرکانس مبنای بی‌بعد برای یک ورق تک‌لا با شرایط مرزی مختلف() 82

فهرست شکل‌ها

شکل ‏1‑1 تقریب‌ خطی‌ جابجایی در تئوری ‌لایه‌لایه‌ای برای مولفه‌های جابجایی لایه‌یI ام   [59 ] 11

شکل ‏1‑2- یک ورق مستطیلی بر اساس فرض‌های تئوری کلاسیک، قبل و پس از تغییر شکل  [59 ] 12

شکل ‏1‑3- یک ورق بر اساس فرض‌های تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قبل و پس از تغییر شکل] [59. 13

شکل ‏1‑4- یک ورق بر اساس فرض‌های تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم، قبل و پس از تغییر شکل] [59. 15

شکل ‏1‑5- مقایسه کیفی جابجایی مولفه‌های درون-صفحه در راستای‌ ضخامت ورق در تئوری‌های مختلف ورق ] [59. 16

شکل ‏3‑1- دستگاه مختصه‌های مادی و جهانی ورق مرکب تک‌لا] [59. 30

شکل ‏3‑2 المان مستطیلی چهار‌گرهی.. 32

شکل ‏3‑3 یک المان مستطیلی ناهم‌دیس با سه درجه آزادی در هر گره   [59 ] 34

شکل ‏3‑4 یک المان مستطیلی هم‌دیس با چهار درجه آزادی در هر گره   [59 ] 35

شکل ‏3‑5  چیدمان تابع‌های درون-صفحه سلسله‌مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابع‌های شکل المان میله. 39

شکل ‏3‑6 روش به‌دست آوردن تابع‌های شکل دوبعدی سلسله مراتبی با مرتبه پیوستگی   به‌صورت نمادین.. 40

شکل ‏3‑7 روش به‌دست آوردن تابع‌های شکل دوبعدی سلسله مراتبی مرتبه پیوستگی   به‌صورت نمادین.. 42

شکل ‏3‑8 چیدمان تابع‌های برون-صفحه سلسله مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابع‌های شکل یک‌بعدی تیر. 42

شکل ‏4‑1 دستگاه مختصات و شماره‌گذاری لایه‌ها برای یک ورق لایه‌لایه. 61

شکل ‏4‑2 وضعیت درجه‌های آزادی مرز المان مستطیلی برای شرط مرزی تکیه‌گاهی ساده نوع اول. 75

شکل ‏4‑3 شرایط مرزی مختلف ورق مستطیلی] [42. 81

شکل ‏4‑4 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSS.. 83

شکل ‏4‑5 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCCC.. 83

شکل ‏4‑6 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیFFFF.. 84

شکل ‏4‑7 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCFF.. 84

شکل ‏4‑8 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCC.. 85

شکل ‏4‑9 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCF.. 85

شکل ‏4‑10 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSFF.. 86

شکل ‏4‑11 جابجایی عرضی شکل‌مود  روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSF.. 86

 شکل پ‑1 یک میله تحت اثر نیروی حجمی b و تقریب آن با استفاده از روش‌های المان محدود استاندارد وسلسله مراتبی ] [61.......90 

شکل پ-2 نمایش تابع‌های شکل سلسله‌ مراتبی و مشتق اول آن‌ها ]‌ [61......................................93

شکل پ-3 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی المان میله ]‌ [62....................................................97

شکل پ-4 تابع‌های شکل سلسله مراتبی المان تیر ] [62................................................................100

شکل پ-5 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی مثلثاتی برای المان تیر  ]‌ [62............................................102

شکل پ-6 تابع‌های شکل استاندارد لاگرانژی و سلسله مراتبی با یک‌چندجمله‌ای اضافه‌شده ] [61..................................103